Видео лекции Владимира Успенского о проблеме Пуанкаре уже на сайте!

  • 04.07.2011

  • Владимир Успенский. Лекция «О математике как части культуры и проблеме Пуанкаре» в ГЦСИ «Арсенал», Нижний Новгород.

     

    Владимир Успенский: О математике в культуре и гипотезе Пуанкаре from premiaprosvetitel.ru on Vimeo.

    Полный текст лекции приведен ниже.

    Успенский: Прежде всего, хочу поблагодарить культурный центр «Арсенал» за честь выступить здесь. Кроме того, я очень рад, что впервые побывал в Нижнем Новгороде, одном из старейших городов России и одном из главных городов российской истории. Приятно отметить, что великий геометр Лобачевский родился в вашем городе, и основатель знаменитой школы теории колебаний и выдающийся математик Александр Александрович Андронов тут работал.
    Также хочу поблагодарить за исключительное гостеприимство, которое меня буквально окутало со стороны как Анны Марковны Гор, директора этого центра, так и ее сотрудников, прежде всего – Саши Курицына.

    В анонсе лекции было объявлено, что она посвящена математике как части мировой духовной культуры. Сегодня я собираюсь говорить не об этой теме в целом, а о более скромной вещи, о конкретном примере того, как математика входит в мировую духовную культуру. Я имею в виду так называемую проблему Пуанкаре, которую решил наш современник, наш соотечественник, великий математик Григорий Перельман. Кстати говоря, мне было приятно, что одна из первых работ Андронова называлась «Предельные циклы Пуанкаре и теория колебаний», то есть Пуанкаре как бы связан с Нижним Новгородом. Ну, а Анри Пуанкаре это великий французский математик, который в истории математики играет уникальную роль: он последний математик старой эпохи и одновременно первый математик новой эпохи!
    И Пуанкаре поставил проблему, о которой я сейчас расскажу, и которую решил Перельман. Дело в том, что, как правило, по законам распространения средств массовой информации и журналистики, если собака укусила человека, это не новость, а вот если человек укусил собаку, это новость! Так и тут. Ну, решил проблему Пуанкаре – это не новость; а от миллиона долларов отказался – вот это новость!

    Ситуация тут такая. В 2000 году частный американский научный институт Клея назначил 7 математических проблем тысячелетия, за решения каждой из которых он объявил премию в миллионов долларов. Пока решена только одна проблема – проблема Пуанкаре. Далее началась история с этим миллионом. Остальные 6 проблем пока не решены, и как их решать, пока не понятно. Но проблема Пуанкаре не только решена, мне кажется, что не мешало бы, чтобы в культурный багаж современного человека входил такой портфельчик, где бы эта проблема лежала, и он понимал, в чем ее чуть. В чем состоит проблема, я попытаюсь присутствующим объяснить. Программа максимум в том, чтобы каждый из присутствующих полностью понял, в чем она состоит. Программа минимум – чтобы, если кто-то и не понял, то был уверен, что он сможет ее понять.
    Проблема Пуанкаре состоит в требовании доказать гипотезу Пуанкаре, которую он поставил в 1900 году, за 100 лет до того как Институт клея включил ее в свой список. Слово «проблема» – это всегда требование что-то сделать. Например, найти решение уравнения, ответить, да или нет на какой-то вопрос. Проблема Пуанкаре – доказать гипотезу Пуанкаре, а гипотеза Пуанкаре, вот она: Всякое односвязное трехмерное компактное многоообразие без края гомеоморфно трехмерной сфере.
    Я так полагаю, что большинству присутствующих сразу ясно, в чем дело, и чего тут объяснять. А тем, кому не ясно, можно попытаться объяснить так, чтобы все поняли. Вот я и попытаюсь это сделать. Давайте начнем с самого начала. Я думаю, что все присутствующие понимают, что бывают линии, бывают поверхности и бывают тела. Линии одномерны. Какие вы знаете линии? Прямая, окружность, всякая загогулина, начерченная карандашом. Поверхности – поверхность стола, шара, поверхность человека. Тела – это трехмерные образования, вот сам человек, микрофон, то, что в пространстве существует. Почему они называются одномерные, двумерные, трехмерные? Линия – положение от точки до предмета исчисляется одним числом. Положение на поверхности – двумя числами – широтой и долготой, а если возьмете всю Землю – надо еще третье число – либо глубину вниз, либо высоту над этой точкой вверх.

    Что такое окружность? Я исхожу из того, что какие-то смутные воспоминания из геометрии у всех есть, помните, что окружность и круг все-таки были в школе. Так что такое окружность? Берется какая-то точка, объявляется центром окружности, назначается число, которое объявляется радиусом окружности, и все точки, лежащие на этом расстоянии от центра, и есть окружность.

    Да, кстати, я прошу меня перебивать. Если будет вопрос, прямо кричите с места! Вот понятно, что окружность – это все точки, равноудаленные от центра, а все точки, ограниченные этой областью – это круг. Из чего состоит круг – из точек, которые находятся от центра на данном или меньшем расстоянии. Теперь шар: берется точка в пространстве – это центр шара, берется расстояние, и все точки, которые лежат на этом или меньшем расстоянии, они образуют шар, а точки, лежащие точно на данном расстоянии, на расстоянии радиуса от центра, они образуют поверхность шара, которая называется сфера. Вот это очень важно, различать сферу и шар, потому что иногда происходит некоторая путаница, и шар неправильно называют сферой. Шар трехмерен, сфера двумерна, математики любят все обобщать, поэтому у них шары и сферы существуют в многомерных пространствах. И естественно, поэтому математики круг называют двумерным шаром. Общее понятие математики – шар – то, что находится от центра на заданном или меньшем расстоянии. Если в пространстве – это обычный «школьный» шар, если на плоскости – это круг. Вы, наверное, все понимаете, что такое одномерная сфера. Двумерная сфера – это поверхность шара, а одномерная сфера – это окружность. Что такое отрезок? Отрезок – это две точки на прямой и все точки между ними. А интервал – это все точки между двумя точками, но сами эти две точки не включены в интервал.
    У геометрических фигур, будь то линии, поверхности или тела, у них существует понятие края. Я начну вот с чего – что такое внутренняя точка геометрической фигуры – это такая точка, которая принадлежит фигуре, и все соседние точки тоже принадлежат. Что такое соседние точки, не буду пока уточнять. Например, вот это лист бумаги – вот эта точка конечно внутренняя. все соседние точке. а вот эта точка которая на краю, она не внутренняя, т.к. не все соседние принадлежат. Те точки фигуры, которые не являются внутренними, это край. Это такая точка, где не все соседние принадлежат фигуре. У круга край – это окружность. У шара кто край? Сфера. У отрезка край состоит из двух точек. А у интервала где край? У интервала нет края!

    Если мы возьмем круг и окружность "сдерем" с него, как с кружка колбасы тонкую кожицу содрали - получится такой круг без окружности – вот там тоже нет края. Если взять шар и снять с него поверхность – то в шаре тоже не будет края. У всего пространства нет края, и у прямой нет края.

    ВОПРОС ИЗ ЗАЛА – Ну тогда как бы краем становятся те точки, которые были по соседству с краем?
    Успенский – Замечательно! Давайте возьмем простой пример - отрезок от 0 до 1. Выбросим 0 и 1. Останется интервал. Где у него край? Какая у него точка по соседству с нулем? Одна миллионная или одна миллиардная? Кто по соседству с нулем? Нет такой точки, которую мы могли бы назвать самой близкой по соседству. Я слово "соседняя" употребил в неточном смысле. "Соседний" значит сколь угодно близкий. Так вот, нет края. Но если кто не понял, как это получается, что нет края, это не так существенно. Это не так важно в данном случае.
    Так вот соседство – оно определяется через расстояние. Его можно разными способами определять. Вы знаете, я с довоенного детства помню – я уже старый, и детство мое было еще до войны, что расстояние на море определялось с помощью количества трубок, которое выкуривает капитан корабля, пока он плывет.
    (Голос из зала) – Вы не старый, вы поживший!
    Успенский – Спасибо!
    Так вот значит расстояние на земле. Как определить расстояние между Нижним Новгородом и Нью-Йорком. А вы знаете, что такое расстояние? Это кратчайший путь, нужно взять две точки, соединить отрезком и посмотреть какая будет его длина. Таким образом, чтобы определить расстояние, нужно сквозь толщу земли пробить по прямой такую линию. А можно по поверхности.
    Голос из зала – Два варианта расстояния?
    Успенский – Вариантов бесконечно много. Существует такое понятие, как Евклидово расстояние. В 17 веке пришел такой известный человек Декарт, который заметил, что всю геометрию можно изложить в терминах чисел. Что такое точка на прямой? Это число. А что такое точка на плоскости? Два числа. А что такое пространство? Это три точки.
    Очень многие считают, что он внес отрицательный вклад в математику и лишил ее наглядности и перенес в такую формалистику, но с другой стороны, это делает возможность понять, что такое точка в четырехмерном пространстве. Это четверка чисел. Но чтобы все эти точки – прямой, плоскости, 3-х и 4-х-мерного пространства, чтобы они организовали некое содружество, нужно между ними назначить расстояние. Пока нет расстояния, никакого пространства не возникает. А когда возникает расстояние, тогда возникает пространство. А главный способ измерения расстояния – это Евклидово расстояние. Если две точки на прямой, одна точка с координатами икс-один, другая икс-два, то расстояние в данном случае – это абсолютная величина разности. Абсолютная величина разности это когда икс-один минус икс-два, если икс-один больше, или икс-два минус икс-один, если икс-два больше. Я странным образом хочу записать это расстояние так (см. картинку): корень квадратный из икс-один минус икс-два в квадрате: – что есть то же самое, что абсолютная величина разности.

    В школе, конечно, учат, как находить расстояние между двумя точками на плоскости. У каждой точки координаты (x, y): у первой – (икс-один, игрек-один), у второй – (иск-два, игрек-два). Тогда расстояние по теореме Пифагора такое (см. картинку):

    В трехмерном пространстве расстояние измеряется так, в четырехмерном – так (см. картинку):

    Четырехмерное пространство состоит из точек с координатами (x, y, z, u). Если имеются две точки, первая – с координатами (икс-один, игрек-один, зэт-один и ю-один) и вторая – с координатами (икс-два, игрек-два, зэт-два, ю-два), то тогда можно вычислить расстояние по только что приведенной формуле. Вот такое расстояние и называется Евклидовым.
    Тогда совершенно ясно, как определяются сферы и шары радиуса 1. Окружность определяется уравнением икс в квадрате+игрек в квадрате=1, а круг – это те точки, где сумма этих чисел меньше или равна 1, уравнение для двумерной сферы:  икс в квадрате+игрек в квадрате+зэт в квадрате=1.
    Напоминаю, что всюду я беру сферы и окружности с радиусом 1.

    Двумерная сфера (см. картинку): икс в квадрате+игрек в квадрате+зэт в квадрате=1, а шар – это когда вместо равенства стоит знак «меньше или равно».
    Трехмерная сфера (см. картинку): икс в квадрате+игрек в квадрате+зэт в квадрате+ю в квадрате=1 и четырехмерный шар (с заменой равенства на «меньше или равно»).

    Сфера всегда на единицу размерности меньше соответствующего шара – на плоскости круг двумерен, а окружность одномерна, в пространстве шар трехмерен, а сфера, которая его ограничивает, двумерна. В четырехмерном – шар четырехмерен, а сфера – трехмерна.
    Это такое напоминание из школы, только с разницей в том, что в школе нет четырехмерного пространства. По недоразумению, этому не учат в школе, но ничего страшного в этом нет – то есть, не в том, что не учат, а в самом четырёхмерном пространстве. Есть такое слово, означающее боязнь многомерных пространств – одни говорят полиагорафобия, а другие говорят плюриагорафобия. Вот если бы в школе учили многомерным пространствам, никаких фобий бы не было.

    Итак, мы уже поняли одно понятие, которое есть в формулировке проблемы Пуанкаре – трехмерная сфера.

    Теперь слово «гомеоморфно» будет объясняться.
    Когда я учился в школе, а я учился чуть ли не в последний год разгрома Лысенкой нашей биологии, тогда еще были хорошие учебники по биологии.
    Голос из зала: Вы хорошо учились?
    Успенский: Мои друзья меня презирали за то, что я был отличник (я был занудой). Так вот меня поразило – там объясняли, в этом учебнике биологии, там объясняли разницу между аналогами и гомологами. Аналоги – вот крылья бабочки и крылья птиц – они выполняют аналогичные функции, но их природа абсолютно разная. А вот если взять крылья птиц, грудные плавники рыб и передние ноги лани, то, несмотря на то, что внешне они совершенно разные, суть у них абсолютна одинакова, вот это гомологи, и происходят они при биологическом развитии из одного и того же.
    Теперь представьте себе три такие геометрические фигуры: квадрат, квадрат, в котором вырезана квадратная дырка, и третья фигура – круг. Если попросить вычеркнуть лишнюю фигуру, назовите из этих трех фигур те две, которые ближе друг другу. (Голоса из зала: Квадрат и круг.) Квадрат и круг – совершенно верно, а не квадрат с дыркой. Хотя, казалось бы, квадрат с квадратной дыркой и квадрат, обе фигуры угловатые. Почему? А вот почему.
    Представим себе, что у нас имеется пленка, которая обладает такими фантастическими свойствами – ее можно как угодно мять, неограниченно растягивать и неограниченно же сжимать, что угодно делать, запрещается только ее рвать и склеивать. Тогда квадрат в круг вы легко превратите, а квадрат в квадрат с дыркой вы не превратите никаким образом. Вот этот процесс превращения путем растягивания куска пленки из квадрата в круг – это непрерывная обратимая деформация, можно вернуть фигуру в первоначальный вид.

    Тем, кто умеет пользоваться интернетом, я очень рекомендую посмотреть в Википедии статью «Топология», а в этой статье посмотреть картинку, как кружка превращается в баранку. Вот, например, этот стакан, если рассматривать его как поверхность, то есть считать, что он бесконечно тонкий (сделан из бесконечно тонкого стекла), то он все равно что круг, так как его можно растянуть в круг. А если учесть, что он имеет толщину, то есть рассматривать его не как поверхность, а как тело, то тогда он шар. Для преобразования тел мы используем вещество, подобное пластилину, но которое не липнет к рукам и которое можно мять, сжимать и растягивать, как угодно, но только не рвать и не склеивать. Такая абсолютно деформируемая субстанция. Тогда шар мы легко превращаем в блин, в лепешку, и, напротив, из лепешки можно сделать «булочку» – шар.
    Так вот если одну фигуру, плоскую двумерную или пространственную трехмерную, хоть сколько угодно мерную, можно в ходе такой деформации превратить в другую, они называются гомеоморфными. Это аналог гомологии в биологии – такая сущностная похожесть, не поверхностная, не наружная, а сущностная.
    Давайте подумаем, какие мы знаем гомеоморфные тела. Шар и куб – они, конечно, гомеоморфны. Если у вас такой идеальный пластилин, можно сделать из одного другое. А можем ли мы из шара или куба сделать баранку? Баранку мы сделать не можем.

    КРЕНДЕЛЬ

    БРЕЦЕЛЬ

    Еще есть крендель! Отлично! Из той условной баранки, тем не менее, сделать крендель никак нельзя. А из кренделя (не говоря уж о баранке) невозможно сделать брецель. Любые две выпечки из следующих четырех: булочка, баранка, крендель и брецель - оказываются не гомеоморфными.

    Можно ставить вопрос о гомеоморфии одномерных образований – линий. Для наглядности линии надо представлять себе сделанными из бесконечно тонкой проволоки или, если хотите, резиновой нити, которую можно как угодно гнуть, растягивать и сжимать, но не рвать и не склеивать. Теперь вопрос: из букв, скажем, русского алфавита, какие гомеоморфны, а какие нет? Представьте себе печатные заглавные буквы А и Д – они гомеоморфны? (Голоса из зала: Да!) Б и Мягкий знак? (Голоса из зала: Да!) Я надеюсь, что «да!») мне отвечают не только математики, по недоразумению присутствующие здесь.
    Теперь вот такой сложный вопрос на засыпку: Русская заглавная буква У и латинская заглавная буква игрек Y – гомеоморфны? Да. Гомеоморфны ли цифра восемь и буква В – это зависит от того, как букву В написать – можно написать так, что она будет гомеоморфна не восьмерке, а скорее, кренделю.
    Само это преобразование – непрерывная и обратимая деформация – называется гомеоморфизмом. Словом гомеоморфия называется ситуация, явление: если две фигуры гомеоморфны, то говорят, что между ними имеет место гомеоморфия, а это значит, можно совершить гомеоморфизм, то есть такое сжатие, растяжение, изгибание, чтобы одна фигура перешла в другую. При этом каждую из этих фигур называют гомеоморфом другой.

    Теперь вырежем из пленки растягиваемый и сминаемый круг. Любой гомеоморф этого круга, то есть любая поверхность, в которую можно переделать этот круг, будем называть лоскутом. Давайте начнем с простого объекта; лоскутная простыня – что это такое? Она составлена из таких лоскутов, гомеоморфов круга – их края сшивают или склеивают, и получается простыня. Одеяло лоскутное – это такой мешок, который набивается чем-то внутри, а потом зашивается. Не будем набивать его ничем внутри, а просто зашьем. Чему он гомеоморфен? Сфере, конечно. Кстати, так устроен классический футбольный мяч – он склеен из 32 лоскутов. Так вот компактное двумерное многообразие – это то, что можно склеить из конечного числа лоскутов. Компактность многообразия означает конечность числа тех элементарных кусочков, из которых мы это многообразие собираем.
    Вот давайте подумаем. Лоскутное одеяло (пустое внутри) и футбольный мяч – это компактное двумерное многообразие, если пренебрегать толщиной.
    А поверхность баранки?

    Вот есть такое слово «тор» в математике. К сожалению, математика вроде точная наука, но в случае со словом «тор» ведет себя неприлично. Словом «тор» называют и трехмерную баранку, и только ее двумерную поверхность. То есть спасательный круг, понимаемый как поверхность, и спасательный круг, если мы его наполним чем-то. Иногда проступают так: в случае трехмерного тела говорят полноторие, но я не решаюсь это умное слово произносить.
    Давайте возьмем сферу, поверхность баранки, поверхность кренделя, поверхность брецеля - каждую из этих поверхностей можно сшить из конечного числа лоскутов. Я обращаю ваше внимание: все эти поверхности являются компактными двумерными многообразиями без края. Ни у одной из этих двумерных поверхностей края нет. Если рассматривать, баранку или брецель как трехмерное тело, то у такого тела, конечно, есть край – его поверхность, но у этой поверхности нет края. У сферы нет края, у шара есть край – это сфера, у круга есть край – окружность, у окружности нет края. Теперь давайте спустимся в одномерность. Берется отрезок, тонкая резинка, пренебрегаем ее толщиной, берем только длину. Любой гомеорморф, который можно получить из отрезка, назовем обрывком. Можно ли из обрывков склеить одномерное многообразие без края? Что такое обрывок? Это отрезок, который можно изгибать, сжимать и растягивать, как хотите. Вот из таких обрывков – можно ли соединить их так концами, краями, чтобы получилась некая линия, одномерное многообразие без края? Оно будет компактным, так как склеено из конечного количества обрывков, это будет компактное одномерное многообразие без края? (Голоса из зала: Окружность.) Да, окружность. Конечно! Можно эти обрывки присоединять, присоединять, и получится окружность. Вопрос – другие компактные одномерные многообразия без края бывают? Очевидно, не бывают. Имеется, конечно, строгое доказательство этого факта, но я думаю, все и так понимают: никаких других одномерных компактных многообразий не бывает.
    А двумерные компактные многообразия без края, они устроены так: сфера, поверхность тора – баранки, поверхность кренделя, поверхность брецеля и так далее. Точнее, этот ряд включает только те двумерные компактные многообразия без края, которые помещаются в нашем трехмерном пространстве, о других я сейчас говорить не буду.

    Как получить гомеоморф шара? Берем шар из нашей глины-пластилина, и комкаем его, как хотим. То, что получится, будем называть комком. Любая фигура, которую можно сложить из конечного числа комков, называется компактным трехмерным многообразием. Шар – он сам по себе комок. Баранка – можно её склеить из конечного числа комков? Можно. Крендель, брецель, но это все будет многообразие с краем. Это компактные трехмерные многообразия с краем. Краями будут поверхности этих трёхмерных тел.
    А в формулировке проблемы Пуанкаре говорится о компактном трехмерном многообразии без края.

    Сложность в том, что в наше трехмерное пространство такие многообразия не помещаются. Они помещаются в пространства более высокого числа измерения. Однако не исключено, что то пространство, в котором мы живем, на самом деле является компактным трехмерным многообразием без края. Мы вообще не знаем, как устроена наша Вселенная.
    Представим себе таких двумерных существ, которые живут на плоскости, передвигаются как амебы, толщины не имеют, но, тем не менее, имеют некоторый интеллект. В школе их учат, что в точке могут сойтись две перпендикулярные прямые, но три уже не могут. Так же как нас в школе учат, что в точке могут сойтись три перпендикулярные прямые, но четвертой уже не может быть. Некоторые из этих амеб начинают говорить, что, возможно, в других мирах может быть большее число измерений, но их как еретиков сжигают на кострах.

    Они не могут увидеть ни сферу, ни поверхность тора, всё этот они могут только умственно представить. Вот эти двумерные существа не могут увидеть компактное двумерное многообразие без края. Но они могут усилием неслыханного воображения и математического продвижения понять, что такое вообще возможно.
    Вот так же и мы, живя в трехмерном мире, не можем увидеть компактное трехмерное многообразие без края, но мы усилием воображения можем понять, что такое может быть. Еще раз повторяю, не исключено, что мы в таком мире и живем, то есть что наш мир и представляет собою компактное трехмерное многообразие без края.

    Компактным трехмерным многообразием без края является, в частности, трёхмерная сфера; мы с вами её уже проходили. Она расположена в четырехмерном пространстве, она состоит из точек, каждая из которых задается четверкой чисел. Трехмерная сфера как раз и является примером трехмерного компактного многообразия без края, но она не помещается в нашем пространстве.

    Вспомним теперь, что гласит гипотеза Пуанкаре – всякое односвязное трехмерное компактное многообразие без края гомеоморфно трехмерной сфере. Все здесь нам понятно, кроме слова «односвязное». Это слово означает довольно простое понятие. Я начну с односвязных поверхностей. Как называется такая вещь, которой мы все пользуемся в быту? Резиновая нить, склеенная концами? Канцелярская резинка, другие говорят --- аптечная резинка.
    Возьмем канцелярскую резинку, но особенную, обладающую вот какими свойствами. Первое свойство: если мы ее кладем на какую-либо поверхность, она не имеет права с этой поверхности соскочить. Второе ее свойство – она исключительно упругая, и если мы ее отпустим, она хочет сжаться в точку, несколько человек должны растягивать ее в разные стороны.


    Голос из зала – На какой поверхности она лежит и не сжимается?
    Успенский – Поверхность может быть разная.
    Если мы положим ее на стол, она сумеет сжаться в точку? Сможет. Если на сферу? Сможет.
    Если на поверхность баранки? Иногда сможет, иногда не сможет. Возможны такие расположения резинки на поверхности баранки, при которых она не сможет сжаться в точку.
    Вот если резинка всегда, при любом расположении на поверхности сможет сжаться в точку, такая поверхность и называется односвязной.
    Я еще забыл сказать третье свойство – она еще очень умная, она готова даже растянуться ради того, чтобы стянуться в точку. Например, представьте себе колбу от песочных часов, ее поверхность, если пренебречь толщиной – это гомеоморф сферы. У этой колбы от песочных часов есть «талия». Давайте мы расположим резинку вокруг этой талии. Резинка очень хочет сжаться в точку, но прямо сделать этого она не может; для того, чтобы сжаться в точку, ей нужно пойти на риск: сначала расшириться, подняться наверх (или вниз) и там, наверху (или внизу) сжаться в точку. Если резинка умная, а предполагается что она умная, она так и сделает.
    Итак, мы с вами познакомились, что такое односвязная поверхность. А вот что такое односвязное трехмерное тело. Там резинке разрешается как угодно путешествовать внутри этого тела, вещество этого тела для нее не составляет препятствия, но выйти за пределы тела ей не разрешено.
    Давайте подумаем – односвязен ли шар? Конечно да. А вот более тонкий вопрос для всех присутствующих. Возьмем шар и внутри него сделаем внутреннюю полость, как бывают пузырьки внутри. И вот это тело – шар с полостью внутри - односвязен или нет? Конечно односвязен, потому что резинка путешествует в нем, как бы мы её не расположили, эту полость она всегда сможет обойти. Вот что такое односвязность.

    Так вот что здесь, в гипотезе Пуанкаре, сказано - всякое односвязное трехмерное компактное многообразие без края гомеоморфно трехмерной сфере. При этом односвязное означает, что как ни расположить резинку внутри многообразия, она может сжаться в точку, а трехмерное компактное означает, что многообразие склеено из конечного числа комков --- гомеоморфов шара. Посмотрим на стену этого зала, она склеена из конечного числа комков. Здесь комками служат кирпичи, но здесь есть край – внутренний и наружный.

    Чтобы эта проблема, гипотеза, была более понятна, давайте понизим ее размерность, и слово трехмерное всюду поменяем на двумерное. Тогда гипотеза Пуанкаре превратится в такое утверждение: всякое односвязное двумерное компактное многообразие без края гомеоморфно двумерной сфере.
    Мы видели, какие бывают двумерные многообразия без края? Поверхность шара, баранки, кренделя, брецеля и так далее. Какая их этих поверхностей односвязна? Только поверхность шара. Это совершенно ясно – еще сам Пуанкаре понимал в конце 19 века, что для двумерного случая это совершенно ясно.
    А для трехмерного случая это представляло огромную проблему, которую и решил наш великий математик Григорий Перельман.

    Какое это имеет значение? Для развития чистой математики это имеет колоссальное значение, так как те методы, которые он применил, были совершенно неожиданны для данной проблемы, а применил он методы дифференциальной геометрии, дифференциальных уравнений. Одна из причин, почему он не взял свой миллион, была та, что он считал, что это не он придумал, а его предшественники, которых он назвал, и нечестно давать ему за это миллион. Он вообще человек исключительных моральных качеств.

    Для математики это все имело колоссальное значение. А также имеет некоторое космологическое значение, потому что всегда очень любопытно, каков тот мир, в котором мы живем. Я просто хочу вам сказать следующее – мы очень мало знаем о том мире, в котором живем, и неизвестно, узнаем ли когда-либо. Например, давайте поймем, что мы вряд ли бы поняли, что мы живем на поверхности шара, если бы в умах людей не было представления об этой геометрической фигуре заранее. А что такое шар, они понимали не из изучения Земли, а из наблюдения за яблоками, ягодами, каплями дождя, то есть математическое понятие шара было у них в головах до того, поэтому они смогли воспринять. Наше пространство искривлено, оно кривое на самом деле, об этом говорится в теории относительности Эйнштейна. Геометрическая структура нашего пространства не так проста, как в школьной трехмерной геометрии, это нечто более сложное. Чтобы это понять, нужно иметь заранее некоторые геометрические конструкции, не имеющие к реальному физическому пространству, казалось бы, никакого отношения, но иметь их в голове. Это позволит потом сказать, что, может быть, пространство устроено так же, как эти геометрические конструкции – по аналогии с тем, как люди поняли, что живут на поверхности шара.

    Чтобы закончить, я хочу напомнить вам один замечательный рассказ Уэллса, я забыл, как он называется, его переводили в 1920-е годы. Там действие происходит так: человек исчезает, был – и нет, потом он появляется через несколько дней. Это такой скромный школьный учитель. А появляется он так – сваливается на спину директору школы, когда тот, наклоненный, занимался цветами в своем огороде. А самое замечательное, что, когда он снова появился, он был зеркально перевернут, скажем, была родинка на левой щеке, стала на правой. Уэллс очень тонко написал, что это невозможно представить, не выйдя за пределы нашего пространства, в том смысле, как мы его понимаем. Математике и физике неизвестна геометрическая структура нашего реального пространства. Но возможно допустить, что такое путешествие можно совершить, не выходя ни в какие астралы, и вернуться зеркально отображенным. Представьте, что это когда либо произойдет, и что можно уже сейчас понять, как это может произойти. Нужно изучать эти трехмерные многообразия без края, не исключено, что можно совершить такое парадоксальное путешествие, это никому достоверно не известно. Физики, которых я спрашивал, конечна или бесконечна наша Вселенная, разделялись примерно поровну: – одни говорили «разумеется, конечна», другие говорили «разумеется, бесконечна», и только один ответил: «не имею точку зрения».

    Вопрос из зала – Пуанкаре в своих работах показал, что если у нас работают законы Ньютона, пространство трехмерное.
    Успенский – Но у нас-то законы Ньютона в нашем пространстве как раз не выполняются. Потому что они выполнятся в том приближении, которые нас устраивают. Но если вы знакомы с теорией относительности, там другие законы.
    Из зала – Так же у Пуанкаре сказано, что законы Ньютона не верифицированы, они не проверяются наукой.
    Успенский – Но сейчас законы Ньютона при очень больших скоростях или при очень микроскопических частицах – они опровергнуты. Это не значит, что Ньютон не прав.
    Из зала – Ну как не прав! Мы работаем в нашем мире, а там частицы другие.
    Успенский – Погодите, большие скорости это не наш мир?
    Зал – Нет.
    Успенский – А чей?
    Зал – Мы живем в мире наблюдаемом.
    Успенский – Эффекты теории относительности вообще в физическом эксперименте наблюдаются?
    Зал – Некоторые наблюдаются.
    Успенский – Верно, некоторые наблюдаются. В законы Ньютона то, что наблюдается – они не укладываются, с этим вы согласны?

    Все, на этом позвольте закончить!
    (Апплодисменты)

    P.S. Зал – А чем Перельман сейчас занят?
    Успенский – Перельман полностью отошел от всех контактов с внешним миром…
    Зал – А наука?
    Успенский – Бросил науку и уволился, на что он живет, я не могу понять.

     

     

     


» к списку новостей